תאריך עדכון: 14.12.09

שם ומספר הקורס:

חשבון אינפיניטסמילי 1

89-132

סוג הקורס: הרצאה + תרגול

שנת לימודים:  תש"ע                    סמסטר:    א'        היקף שעות שבועיות: 4+2

 אתר הקורס באינטרנט:          

 

א. מטרות הקורס (מטרות על / מטרות ספציפיות):

מטרות על

הקניית היסודות התאורטיים והפורמליים של החשבון האינפיניטסימלי במשתנה ממשי אחד, ופיתוח יכולת חשיבה מתמטית מדויקת המבוססת על הגדרות, משפטים והוכחות. הקורס מהווה בסיס ללימודי המשך במתמטיקה, במדעי המחשב, בהנדסה ובמדעים מדויקים נוספים.

מטרות ספציפיות

בסיום הקורס הסטודנט יהיה מסוגל:

1. להכיר את מערכת המספרים הממשיים ואת תכונותיה היסודיות, לרבות מושגי סדר, שלמות, חסמים וחסם עליון/תחתון.
2. להבין ולהשתמש במושגי ההתכנסות של סדרות וטורים, וליישם מבחני התכנסות ומשפטים מרכזיים בתחום.
3. לנתח תכונות של סדרות, תת־סדרות, גבולות חלקיים ונקודות הצטברות, ולהשתמש במשפטים יסודיים כגון משפט בולצאנו־וירשטרס.
4. להגדיר ולחשב גבולות של פונקציות באמצעות ההגדרות הפורמליות, ולהשתמש במשפטי הגבול השונים.
5. להבין את מושג הרציפות וליישם את המשפטים המרכזיים של פונקציות רציפות, לרבות משפט ערך הביניים, משפט ויירשטראס ומשפט היינה־קורל.
6. להכיר פונקציות ממשיות של משתנה אחד, את תכונותיהן ואת הפונקציות האלמנטריות המרכזיות.
7. להבין את מושג הנגזרת, משמעותו הגיאומטרית והפיזיקלית, ולחשב נגזרות של פונקציות שונות באמצעות כללי הגזירה.
8. ליישם את המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי, ובכללם משפטי רול, לגרנז' וקושי וכלל לופיטל.
9. להשתמש בפיתוחי טיילור לצורך קירובים, הערכת שגיאות ופתרון בעיות מתמטיות.
10. לפתח יכולת ניסוח והוכחה של טענות מתמטיות ברמת דיוק אקדמית, תוך שימוש בשפה ובסימונים המקובלים באנליזה מתמטית.

 

ב. תוכן הקורס: (רציונל, נושאים)

 

I)      המספרים הממשיים

       1.         שדות, שדות סדורים, תכונת ארחימדס.

       2.         תכונות היסוד של הממשיים; שלמותם וצפיפות הרציונלים בתוכם.

       3.         קבוצות חסומות, החסם העליון והחסם התחתון.

       4.         חזקות רציונליות.

 

II)   סדרות

       1.         התכנסות והתבדרות, ושאיפה ל-±∞

       2.         פעולות אריתמטיות על סדרות ואי-שוויונות בין סדרות וגבולותיהן.

       3.         סדרות מונוטוניות ויישומן בהגדרת "e" בחזקות ממשיות ובהוכחת למת קנטור.

       4.         תת-סדרות וגבולות חלקיים, משפט בולצאנו-וירשטרס, גבול עליון וגבול תחתון.

       5.         נקודות הצטברות ומשפט בולצאנו-וירשטרס הטופולוגי.

 

III)  טורים עם איברים קבועים

       1.         סכומים חלקיים והגדרת התכנסות; משפטי ההתכנסות היסודיים.

       2.         טורים חיוביים ומשפטי התכנסות עבורם.

       3.         התכנסות בהחלט ועל תנאי, משפט ליבניץ, חוק החילוף, ומשפט רימן.

       4.         משפט אבל, כפל של טורים.

 

IV)   פונקציות ממשיות של משתנה אחד

       1.         מושג הפונקציה, הגרף של פונקציה, וסקירת הפונקציות האלמנטריות.

 

V)     גבול של פונקציה

       1.         הגדרת הגבול לפי קושי ולפי היינה (ע"י סדרות).

       2.         גבולות חד-צדדיים.

       3.         משפטי הגבול היסודים.

 

VI)   פונקציות רציפות

       1.         הגדרת רציפות בנקודה ובקטע.

       2.         משפטי הרציפות היסודיים.

       3.         מיון של נקודות אי-רציפות.

       4.         תכונות היסוד של פונקציות רציפות; משפט ערך הביניים, קבלת מקסימום ומינימום בכל קטע סגור.

       5.         רציפות במידה שווה.

       6.         קומפקטיות, משפט היינה-קורל.

       7.         פונקציות הפיכות והפוכות.

       8.         הפונקציה a^x

 

VII)  הנגזרת

       1.         הגדרת הנגזרת ומשמעותה הגיאומטרית והפיזיקלית.

       2.         הכללים היסודיים של גזירה; חוק השרשרת; גזירת הפונקציה ההפוכה; נגזרות של פונקציות אלמנטריות.

       3.         נגזרת מסדר כלשהו.

 

VIII)  המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי

       1.         משפטי פרמה, רול, לגרנג' וקושי.

       2.         כלל לופיטל.

       3.         נוסחת טיילור הסופית עם שארית; הערכת השארית.

       4.         חישובים מקורבים בעזרת נוסחת טיילור.